Funções do 2º Grau no Geogebra

Exercícios de Fixação: Webquest

Devemos agora aplicar o que foi aprendido nas postagens anteriores. Para isso propomos uma WebQuest.

A WebQuest é uma atividade didática que inclui nas aulas a Internet, em especial na busca de informação pela Rede. O objetivo é desenvolver o pensamento reflexivo e crítico dos alunos, bem como estimular a sua criatividade. Clique aqui para aprender mais sobre esse recurso didático.

Montamos uma Webquest onde focamos o uso do GeoGebra no estudo de Funções Quadráticas.

Clique na imagem abaixo para acessa-lo.

Estudo dos Zeros Reais da Função Quadrática

Apresentação Ponto máximo e Ponto Mínimo

Funções do 2º grau apresentação

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PONTO MÁXIMO E PONTO MÍNIMO

Atividades: Ponto Máximo, Ponto Mínimo, Crescimento e Decrescimento da função Quadrática

1.Dada a função f(x) = -x² + 6x – 10

a) o valor máximo atingido por y.

b) determine se a função é crescente ou decrescente

c) esboce o gráfico

Solução: para a = -1 b = +6 c = -10

∆= b² – 4.a.c → ∆= (6)² – 4.(-1).(-10) → ∆= 36 – 40 → ∆= – 4

y_v = - ∆ / 4a → y_{v =}- (-4/4(-1)) → y_{v =} -1

x_v = - b / 2a → x_{v =}- (6/2(-1)) → x_{v =}3

a) Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo, portanto o valor máximo atingido será: y_{v =} -1

b) Como a < 0, a função é crescente para x < x_v, ou para x ℇ (-∞,3]

2. Dada a função f(x) = x² -8x +12

a) o valor mínimo atingido por y.

b) determine se a função é crescente ou decrescente

c) esboce o gráfico

Solução: para a = +1 b = -8 c = 12

∆= b² – 4.a.c → ∆= (-8)² – 4.(1).(12) → ∆= 64 – 48 → ∆= 16

y_v = - ∆ / 4a → y_{v =}- (16/4(1)) → y_{v =}-4

x_v = - b / 2a → x_{v =}- (8/2(1)) → x_{v =}-4

a) Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo, portanto o valor máximo atingido será: y_{v =} -4

b) Como a >0, a função é crescente para x < x_v, ou para x ℇ [-4, +-∞)

Função crescente e decrescente da Função Quadrática

O ponto limite entre o crescimento e o decrescimento de uma função quadrática é obtido projetando-se ortogonalmente o vértice no eixo x.

Podemos concluir que quando comparamos os pares ordenados da função quadrática é:

→ Crescente o eixo do x e y aumenta no mesmo tempo

→ Decrescente o eixo do x aumenta e o eixo y diminui ou vice-versa ao mesmo tempo

Ponto de Mínimo e Ponto de Máximo

Para analisarmos os pontos mínimo e máximo de uma função quadrática, temos que analisar seu ponto a, sua concavidade e seu vértice.

Dada uma função f(x) = ax² + bx + c podemos verificar se a concavidade é para cima ou para baixo, basta verificarmos a<0 ou a>0.

Para acharmos o vértice usamos as fórmulas x_v= (-b)/(2.a) e y_v= (-∆)/(4.a) , onde encontraremos os pontos mínimos e máximos.

-Quando a > 0, da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a parábola é para cima e o vértice é o ponto mínimo da função, sendo sua ordenada y_v= (-∆)/(4.a) .

-Quando a < 0, da função quadrática f(x) = -ax² + bx + c, a parábola é para baixo e o vértice é o ponto máximo da função, sendo sua ordenada y_v= (-∆)/(4.a) .

Nota: O ponto máximo e o ponto mínimo intercepta o eixo y em um único ponto e na abcissa em dois pontos distintos.

Exemplo:

Dada a função f(x) = x² -3x, calcule o Ponto Mínimo.

Pela fórmula de Bhaskara: x’ = 3 e x” = 0

xv = (-b)/(2.a) yv = (-∆)/(4.a)

xv = (+3)/(2.1) yv = (-9)/(4.1)

xv = (+3)/(2) yv = (-9)/(4)

xv = 1,5 yv = -2,25

Portanto o ponto mínimo é o cruzamento de xv e yv, onde a parábola estará com a concavidade para cima e cortará o eixo x no 3, passará no eixo y em zero e estará abaixo do eixo x.

Dada a função f(x) = -x² +3x, calcule o Ponto Máximo.

Pela fórmula de Bhaskara: x’ = 3 e x” = 0

xv = (-b)/(2.a) yv = (-∆)/(4.a)

xv = (-3)/(2.-1) yv = (-9)/(4.-1)

xv = (-3)/(-2) yv = (-9/(-4)

xv = +1,5 yv = +2,25

Portanto o ponto máximo é o cruzamento de xv e yv, onde a parábola estará com a concavidade para baixo e cortará o eixo x no 3, passará no eixo y em zero e o ponto estará acima do eixo x.

Curiosidade: Toda função tem uma imagem refletida em y, conhecida como valor mínimo e valor máximo, sendo esta o yv.