Exercícios de Fixação: Webquest

Devemos agora aplicar o que foi aprendido nas postagens anteriores. Para isso propomos uma WebQuest.

A WebQuest é uma atividade didática que inclui nas aulas a Internet, em especial na busca de informação pela Rede. O objetivo é desenvolver o pensamento reflexivo e crítico dos alunos, bem como estimular a sua criatividade. Clique aqui para aprender mais sobre esse recurso didático.

Montamos uma Webquest onde focamos o uso do GeoGebra no estudo de Funções Quadráticas.

Clique na imagem abaixo para acessa-lo.

Estudo dos Zeros Reais da Função Quadrática

Apresentação Ponto máximo e Ponto Mínimo

Funções do 2º grau apresentação

View more presentations from rmsophia.

PONTO MÁXIMO E PONTO MÍNIMO

Atividades: Ponto Máximo, Ponto Mínimo, Crescimento e Decrescimento da função Quadrática

1.Dada a função f(x) = -x² + 6x – 10

a) o valor máximo atingido por y.

b) determine se a função é crescente ou decrescente

c) esboce o gráfico

Solução: para a = -1   b = +6   c = -10

∆= b² – 4.a.c → ∆= (6)² – 4.(-1).(-10)  → ∆= 36 – 40 → ∆= – 4

y_v = - ∆ / 4a → y_{v =} - (-4/4(-1)) → y_{v =} -1

x_v = - b / 2a → x_{v =} - (6/2(-1)) → x_{v =}  3

a)      Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo, portanto o valor máximo atingido será: y_{v =}  -1

b)     Como a < 0, a função é crescente para x < x_v, ou para x ℇ (-∞,3]

2. Dada a função f(x) = x² -8x +12

a) o valor mínimo atingido por y.

b) determine se a função é crescente ou decrescente

c) esboce o gráfico

Solução: para a = +1   b = -8   c = 12

∆= b² – 4.a.c → ∆= (-8)² – 4.(1).(12)  → ∆= 64 – 48 → ∆= 16

y_v = - ∆ / 4a → y_{v =} - (16/4(1)) → y_{v =}  -4

x_v = - b / 2a → x_{v =} - (8/2(1)) → x_{v =}  -4

a)      Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo, portanto o valor máximo atingido será: y_{v =}  -4

b)     Como a >0, a função é crescente para x < x_v, ou para x ℇ [-4, +-∞)

Função crescente e decrescente da Função Quadrática

O ponto limite entre o crescimento e o decrescimento de uma função quadrática é obtido projetando-se ortogonalmente o vértice no eixo x.

 

 Podemos concluir que quando comparamos os pares ordenados da função quadrática é:

→ Crescente o eixo do x e y aumenta no mesmo tempo

→ Decrescente o eixo do x aumenta e o eixo y diminui ou vice-versa ao mesmo tempo

Ponto de Mínimo e Ponto de Máximo

Para analisarmos os pontos mínimo e máximo de uma função quadrática, temos que analisar seu ponto a, sua concavidade e seu vértice.

Dada uma função f(x) = ax² + bx + c podemos verificar se a concavidade é para cima ou para baixo, basta verificarmos a<0 ou a>0.

Para acharmos o vértice usamos as fórmulas x_v = (-b)/(2.a) e y_v =  (-∆)/(4.a)  , onde encontraremos os pontos mínimos e máximos.

-Quando a > 0, da função quadrática f(x) = ax² + bx + c, a parábola é para cima e o vértice é o ponto mínimo da função, sendo sua ordenada y_v = (-∆)/(4.a) .

-Quando a < 0, da função quadrática f(x) = -ax² + bx + c, a parábola é para baixo e o vértice é o ponto máximo da função, sendo sua ordenada y_v = (-∆)/(4.a) .

Nota: O ponto máximo e o ponto mínimo intercepta o eixo y em um único ponto e na abcissa em dois pontos distintos.

Exemplo:

Dada a função f(x) = x² -3x, calcule o Ponto Mínimo.

Pela fórmula de Bhaskara:  x’ = 3 e x” = 0

xv = (-b)/(2.a)                   yv = (-∆)/(4.a)

xv = (+3)/(2.1)                  yv = (-9)/(4.1)

xv = (+3)/(2)                     yv = (-9)/(4)

xv = 1,5                             yv = -2,25

Portanto o ponto mínimo é o cruzamento de xv e yv, onde a parábola estará com a concavidade para cima e cortará o eixo x no 3,  passará no eixo y em zero e estará abaixo do eixo x.

Dada a função f(x) = -x² +3x, calcule o Ponto Máximo.

Pela fórmula de Bhaskara:  x’ = 3 e x” = 0

xv = (-b)/(2.a)                    yv = (-∆)/(4.a)

xv = (-3)/(2.-1)                  yv = (-9)/(4.-1)

xv = (-3)/(-2)                     yv = (-9/(-4)

xv = +1,5                             yv = +2,25

Portanto o ponto máximo é o cruzamento de xv e yv, onde a parábola estará com a concavidade para baixo e cortará o eixo x no 3,  passará no eixo y em zero e o ponto estará acima do eixo x.

Curiosidade: Toda função tem uma imagem refletida em y, conhecida como valor mínimo e valor máximo, sendo esta o yv. 

Funções Quadráticas: Estudo do sinal

Funções quadráticas estudo do sinal

Função do 2º Grau no Excel

Utilize o gráfico de dispersão.

Função do 2º Grau no Geogebra

Função Quadrática ou Função Polinomial do 2º Grau no Geogebra A função polinomial do 2º grau é apresentada da seguinte forma: F(x) = ax² + bx + c Por que é chamada de função polinomial de 2º grau? Porque o maior expoente de x é 2. Lembrando que o coeficiente “a” precisa ser diferente de zero (a ≠ 0), ou então, não teremos um gráfico de parábola e sim uma reta. E todos os coeficientes a, b e c devem ser números reais. Por favor, verifique se o seu navegador não está bloqueando o acesso a atividade. Para instalar a linguagem JAVA em seu computador, acesse o endereço http://www.java.com/pt_BR Com o uso do GEOGEBRA você poderá viajar em algumas propriedades das funções quadráticas. Por exemplo: 1- Para que lado será a concavidade da minha parábola?  Se a > 0, a concavidade estará voltada para cima;  Se a < 0, a concavidade estará voltada para baixo; Para comprovar isso clique no ponto abaixo da letra “a” ao lado da parábola e o arraste. Você verá que os valores de “a” aumentam quando movimentado para direita e diminuem quando movimentado para esquerda. Verifique o que ocorre com a parábola com os diferentes valores de “a”. Passe pelo valor a=0. O que acontece? 2- Para encontrarmos os zeros da Função Quadrática, basta resolver a equação: ax² + bx + c = 0. Para isso vamos utilizar a famosa fórmula de Bhaskara: x= (-b±√∆) / (2.a) ∆=b²-4.a.c) Encontraremos x1 e x2 que indicarão os pontos onde a parábola passará pelo eixo X (abscissas). Movimente os pontos e veja o que acontece com os valores de Δ, x1 e x2. Você poderá perceber que quando: ∆>0 A parábola corta o eixo x em dois pontos distintos (x1 e x2). ∆=0 A parábola tangencia o eixo x. (x1 = x2) ∆<0 A parábola não corta o eixo x. (x1 e x2 são nulos) 3- Para encontrarmos o vértice da parábola nas coordenadas x e y utilizamos as seguintes fórmulas: Xv=(-b)/(2.a) Yv= (-∆)/(4.a) Bom, agora você já deve saber que ser mover os coeficientes da parábola os valores do vértice também mudarão. Gisele Fernandes Costa, criado com o GeoGebra

Tutorial - Como funciona o GeoGebra

Tutorial GeoGebra - Funções Quadraticas

View more PowerPoint from Turbotnt

Objetivo do Blog

Este Blog foi criado pelos professores Helber, Gisele, Luciana e Rosana como trabalho de conclusão da Disciplina "Informática Educativa II" do Curso Novas Tecnologias para o Ensino da Matemática, da Universidade Federal Fluminense, sob a tutoria da professora Lilian de Lima Madeira.
Esperamos que este material sirva de referência para todos os interessados em aprender um pouco mais sobre funções do 2º Grau.